3.267 \(\int (c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=343 \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b} \]

[Out]

((6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + ((3*I)*d*(c +
d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I
)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (
6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*Poly
Log[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*PolyLog[4, -E^
(I*(a + b*x))])/b^4 + ((6*I)*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.572627, antiderivative size = 343, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 23, number of rules used = 14, integrand size = 22, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.636, Rules used = {2622, 321, 207, 4420, 6741, 12, 6742, 6273, 4183, 2531, 6609, 2282, 6589, 4181} \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{PolyLog}\left (4,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

((6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (2*(c + d*x)^3*ArcTanh[E^(I*(a + b*x))])/b + ((3*I)*d*(c +
d*x)^2*PolyLog[2, -E^(I*(a + b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 + ((6*I
)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((3*I)*d*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^(I*(a + b*x))])/b^2 - (
6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, -E^(I*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 - (6*d^3*Poly
Log[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*PolyLog[4, -E^
(I*(a + b*x))])/b^4 + ((6*I)*d^3*PolyLog[4, E^(I*(a + b*x))])/b^4 + ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b

Rule 2622

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^(n_.)*((a_.)*sec[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_), x_Symbol] :> Dist[1/(f*a^n), Subst[Int
[x^(m + n - 1)/(-1 + x^2/a^2)^((n + 1)/2), x], x, a*Sec[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, e, f, m}, x] && IntegerQ[(n
+ 1)/2] &&  !(IntegerQ[(m + 1)/2] && LtQ[0, m, n])

Rule 321

Int[((c_.)*(x_))^(m_)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[(c^(n - 1)*(c*x)^(m - n + 1)*(a + b*x^n
)^(p + 1))/(b*(m + n*p + 1)), x] - Dist[(a*c^n*(m - n + 1))/(b*(m + n*p + 1)), Int[(c*x)^(m - n)*(a + b*x^n)^p
, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, p}, x] && IGtQ[n, 0] && GtQ[m, n - 1] && NeQ[m + n*p + 1, 0] && IntBinomialQ[a, b,
c, n, m, p, x]

Rule 207

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> -Simp[ArcTanh[(Rt[b, 2]*x)/Rt[-a, 2]]/(Rt[-a, 2]*Rt[b, 2]), x] /;
FreeQ[{a, b}, x] && NegQ[a/b] && (LtQ[a, 0] || GtQ[b, 0])

Rule 4420

Int[Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Modul
e[{u = IntHide[Csc[a + b*x]^n*Sec[a + b*x]^p, x]}, Dist[(c + d*x)^m, u, x] - Dist[d*m, Int[(c + d*x)^(m - 1)*u
, x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] && IntegersQ[n, p] && GtQ[m, 0] && NeQ[n, p]

Rule 6741

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = NormalizeIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; v =!= u]

Rule 12

Int[(a_)*(u_), x_Symbol] :> Dist[a, Int[u, x], x] /; FreeQ[a, x] &&  !MatchQ[u, (b_)*(v_) /; FreeQ[b, x]]

Rule 6742

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = ExpandIntegrand[u, x]}, Int[v, x] /; SumQ[v]]

Rule 6273

Int[((a_.) + ArcTanh[u_]*(b_.))*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(m + 1)*(a + b*ArcTan
h[u]))/(d*(m + 1)), x] - Dist[b/(d*(m + 1)), Int[SimplifyIntegrand[((c + d*x)^(m + 1)*D[u, x])/(1 - u^2), x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && NeQ[m, -1] && InverseFunctionFreeQ[u, x] &&  !FunctionOfQ[(c + d*x)^(m
+ 1), u, x] && FalseQ[PowerVariableExpn[u, m + 1, x]]

Rule 4183

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E^(I*(e + f*
x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*(e + f*x))], x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c +
d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 4181

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-2*(c + d*x)^m*ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))])/f, x] + (-Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^3 \csc (a+b x) \sec ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-\frac{\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{\sec (a+b x)}{b}\right ) \, dx\\ &=-\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-(3 d) \int \frac{(c+d x)^2 \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right )}{b} \, dx\\ &=-\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \left (-\tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+\sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int \left (-(c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))+(c+d x)^2 \sec (a+b x)\right ) \, dx}{b}\\ &=-\frac{(c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x))}{b}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)) \, dx}{b}-\frac{(3 d) \int (c+d x)^2 \sec (a+b x) \, dx}{b}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{\int b (-c-d x)^3 \csc (a+b x) \, dx}{b}+\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \int \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\int (-c-d x)^3 \csc (a+b x) \, dx\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{(3 d) \int (-c-d x)^2 \log \left (1-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{(3 d) \int (-c-d x)^2 \log \left (1+e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}+\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (6 d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_2(i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (-c-d x) \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac{\left (6 i d^2\right ) \int (-c-d x) \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac{\left (6 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac{\left (6 d^3\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac{\left (6 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(-x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (6 i d^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}\\ &=\frac{6 i d (c+d x)^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{2 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b}+\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 i d^2 (c+d x) \text{Li}_2\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{3 i d (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{6 d^3 \text{Li}_3\left (i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 d^2 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac{6 i d^3 \text{Li}_4\left (-e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{6 i d^3 \text{Li}_4\left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 1.43863, size = 473, normalized size = 1.38 \[ \frac{-3 d \left (2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )-2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )+2 d^2 \text{PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-2 i b^2 c^2 \tan ^{-1}\left (e^{i (a+b x)}\right )+2 b^2 c d x \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-2 b^2 c d x \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+b^2 d^2 x^2 \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-b^2 d^2 x^2 \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )\right )+3 i d \left (b^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}(2,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))+2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}(3,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))-2 d^2 \text{PolyLog}(4,-\cos (a+b x)-i \sin (a+b x))\right )-3 i d \left (b^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}(2,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))+2 i b d (c+d x) \text{PolyLog}(3,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))-2 d^2 \text{PolyLog}(4,\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))\right )+b^3 (c+d x)^3 \sec (a+b x)-2 b^3 (c+d x)^3 \tanh ^{-1}(\cos (a+b x)+i \sin (a+b x))}{b^4} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Csc[a + b*x]*Sec[a + b*x]^2,x]

[Out]

(-2*b^3*(c + d*x)^3*ArcTanh[Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] - 3*d*((-2*I)*b^2*c^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))] + 2*b
^2*c*d*x*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] + b^2*d^2*x^2*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 2*b^2*c*d*x*Log[1 + I*E^(I*(a +
b*x))] - b^2*d^2*x^2*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - (2*I
)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] - 2*d^2*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + 2*d^2*PolyLog[3, I*E^
(I*(a + b*x))]) + (3*I)*d*(b^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*Po
lyLog[3, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]] - 2*d^2*PolyLog[4, -Cos[a + b*x] - I*Sin[a + b*x]]) - (3*I)*d*(b^2*(c
+ d*x)^2*PolyLog[2, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]] + (2*I)*b*d*(c + d*x)*PolyLog[3, Cos[a + b*x] + I*Sin[a +
b*x]] - 2*d^2*PolyLog[4, Cos[a + b*x] + I*Sin[a + b*x]]) + b^3*(c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b^4

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.651, size = 1152, normalized size = 3.4 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^3*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x)

[Out]

-3/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2+3/b*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*d^3/b^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-3*
d^3/b^4*a^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))+3*d^3/b^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*d^3/b^4*a^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))+6
*I*d^3*x*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3+6*d^3*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a
)))/b^4+2*(d^3*x^3+3*c*d^2*x^2+3*c^2*d*x+c^3)*exp(I*(b*x+a))/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)+6*I*d/b^2*c^2*arctan(exp(I
*(b*x+a)))-6*I/b^2*d^2*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-6*I*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^4+6*I*d^3*polylog(4,
exp(I*(b*x+a)))/b^4+1/b*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3+1/b^4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-1/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+
a))+1)*x^3+3/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^3*c*d^2*a^2*ln(1-exp(I*
(b*x+a)))-3/b*c^2*d*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+3/b*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^2*c^2*d*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a
+3*I/b^2*c^2*d*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I*d^3*x*polylog(2,-I*ex
p(I*(b*x+a)))/b^3+6*d^2/b^3*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a-6*d^2/b^2*c*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x-6*d^2/b^3*c*ln(1-I
*exp(I*(b*x+a)))*a+6*d^2/b^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x+6*I*d^3/b^4*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^2/b^3*c*
a*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x+6/b^3*c*
d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))-6/b^3*c*d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))-1/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+6*I/b^
2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*c*d^2*x+6*I/b^4*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*I/b^3*d^2*c*dilog(1-I*exp(I*(
b*x+a)))-6*I/b^3*d^2*c*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))+6*I/b^4*d^3*a*dilog(1+I*exp(I*(b*x+a)))-3*I/b^2*d^3*polylog(2
,exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^4*d^3*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*a-3*I/b^2*c^2*d*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^
4*d^3*a*dilog(1-I*exp(I*(b*x+a)))+1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 4.01994, size = 4327, normalized size = 12.62 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(c^3*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1)) - 3*a*c^2*d*(2/cos(b*x + a) - log(co
s(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1))/b + 3*a^2*c*d^2*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x
+ a) - 1))/b^2 - a^3*d^3*(2/cos(b*x + a) - log(cos(b*x + a) + 1) + log(cos(b*x + a) - 1))/b^3 + 2*((6*b^2*c^2
*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^
2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c
*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(c
os(b*x + a), sin(b*x + a) + 1) + (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a
*d^3)*(b*x + a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(
2*b*x + 2*a) - (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*
d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(cos(b*x + a), -sin(b*x + a) + 1) - (2*(b*x + a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2 -
a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^
3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^3*d^3 + (6
*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*
a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - (2*(b*x + a)^3*d^3 + 6*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 6*(b^2*c^
2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d -
2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (2*I*(b*x + a)^3*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x +
a)^2 + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(
b*x + a) + 1) - (4*I*(b*x + a)^3*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + (12*I*b^2*c^2*d - 24*I*a*b*c*
d^2 + 12*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(b*x + a) + (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 + (b*x +
a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(
I*e^(I*b*x + I*a)) - (12*b*c*d^2 + 12*(b*x + a)*d^3 - 12*a*d^3 + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*cos(2*b*
x + 2*a) + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-I*e^(I*b*x + I*a)) + (6*b
^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*
b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-6*I*b^2*c^2*d + 12*I
*a*b*c*d^2 - 6*I*(b*x + a)^2*d^3 - 6*I*a^2*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 + 12*I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dil
og(-e^(I*b*x + I*a)) - (6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 + 6*(b*x + a)^2*d^3 + 6*a^2*d^3 + 12*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x
+ a) + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*
a) + (6*I*b^2*c^2*d - 12*I*a*b*c*d^2 + 6*I*(b*x + a)^2*d^3 + 6*I*a^2*d^3 + (12*I*b*c*d^2 - 12*I*a*d^3)*(b*x +
a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) - (-I*(b*x + a)^3*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 +
(-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a) + (-I*(b*x + a)^3*d^3 + (-3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3)*(b
*x + a)^2 + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + ((b*x + a)^3*d^3 + 3*
(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (I*(b*x + a)^3*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x + a)^2 +
(3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + (3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3)*(b*x
+ a)^2 + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*a^2*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b*c
*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a
)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*(b*x + a)^2*d^3 - 3*I*a^2*d
^3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a) + (-3*I*b^2*c^2*d + 6*I*a*b*c*d^2 - 3*I*(b*x + a)^2*d^3 - 3*I*a^2*d^
3 + (-6*I*b*c*d^2 + 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^
2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a)
+ 1) - (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*(b*x + a)^2*d^3 + 3*I*a^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a
) + (3*I*b^2*c^2*d - 6*I*a*b*c*d^2 + 3*I*(b*x + a)^2*d^3 + 3*I*a^2*d^3 + (6*I*b*c*d^2 - 6*I*a*d^3)*(b*x + a))*
cos(2*b*x + 2*a) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + a^2*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*sin
(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) - 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*si
n(2*b*x + 2*a) + d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 12*(d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*
polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) - (-12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + 12*d^3*sin(2*b*x + 2*a) - 12*I*d^3)*polylog(3, I*e
^(I*b*x + I*a)) - (12*I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - 12*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + 12*I*d^3)*polylog(3, -I*e^(I*b*x + I*
a)) - (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3 + (-12*I*b*c*d^2 - 12*I*(b*x + a)*d^3 + 12*I*a*d^3)*cos
(2*b*x + 2*a) + 12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - (12*I*b*
c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3 + (12*I*b*c*d^2 + 12*I*(b*x + a)*d^3 - 12*I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) -
12*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x + I*a)) + 4*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b
*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a))*sin(b*x + a))/(-2*I*b^3*cos(2*b
*x + 2*a) + 2*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 2*I*b^3))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 1.00506, size = 4352, normalized size = 12.69 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 + 6*I*d^3*cos(b*x + a)*polylog(4, cos(b*x + a
) + I*sin(b*x + a)) - 6*I*d^3*cos(b*x + a)*polylog(4, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 6*I*d^3*cos(b*x + a)*po
lylog(4, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*I*d^3*cos(b*x + a)*polylog(4, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 6
*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - s
in(b*x + a)) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -
I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b
*x + a) + I*sin(b*x + a)) + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*dilog(cos(b*x + a
) - I*sin(b*x + a)) + (6*I*b*d^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (6*I*b*d
^3*x + 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x +
a)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + (-6*I*b*d^3*x - 6*I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) -
sin(b*x + a)) + (-3*I*b^2*d^3*x^2 - 6*I*b^2*c*d^2*x - 3*I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(
b*x + a)) + (3*I*b^2*d^3*x^2 + 6*I*b^2*c*d^2*x + 3*I*b^2*c^2*d)*cos(b*x + a)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a)) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
) + 1) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) - (b^3*d^3*
x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + b^3*c^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*
c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*
d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*
d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*
d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c
*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) + (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*
d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*cos(b*x + a)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^3*c^3 - 3*a*b
^2*c^2*d + 3*a^2*b*c*d^2 - a^3*d^3)*cos(b*x + a)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) + (b^3*d^3*
x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a
) + I*sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a
) + I) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*c^2*d*x + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + a^3*d^3)*cos(b*x + a
)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x +
a) - I*sin(b*x + a) + I) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 6*(b
*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)*
polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 6*(b*d^3*x + b*c*d^2)*cos(b*x + a)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*s
in(b*x + a)))/(b^4*cos(b*x + a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Timed out} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**3*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)**2,x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{3} \csc \left (b x + a\right ) \sec \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^3*csc(b*x+a)*sec(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*csc(b*x + a)*sec(b*x + a)^2, x)